双重积分计算器

输入函数 f(x, y) 以使用此计算器计算双重积分(反导数)。

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双积分计算器:

这个双积分计算器可帮助您评估双变量函数 (f(x, y)) 的定或不定双积分。双积分求解器提供逐步计算,甚至允许您更改积分顺序,从而获得更简单的解决方案。

什么是双积分?

在微积分中,双积分用于计算二维区域(用 R 表示)上两个变量函数(用 f(x, y) 表示)的积分。它不仅有助于找到表面下的体积,还有助于找到质量分布,并计算该区域的通量(流速)和面积 \ R^{2}\ 条。

双重积分在数学上由符号表示 \ ”∫∫_R”,表示区域“R”上的双重积分,后跟函数 f(x, y) 和区域元素 dA。

双重积分也可以表示为迭代积分:

\begin{array}{l}\ ∫∫_{R}f(x,y)\ dA =\ ∫∫_{R}f(x,y)\ dx\ dy\end{array}

如何求解双积分?

要计算二维函数的双重积分,请按照下列步骤操作:

  • 首先,指定区域(用 R 表示)
  • 现在,用符号形式写出双积分: \ ∫∫_R f(x, y) dA
  • 对一个变量的函数 f(x, y) 执行内积分,并将第二个变量视为常数
  • 记下结果并将其集成到第二个变量中,使第一个变量保持为常数
  • 您将得到最终结果,表示在区域 R 上计算的双重积分

例:

计算双重积分 \ x^{2}\ + \ 3xy^{2}\ + \ xy

解决方案:

第 1 步:计算变量 x 的内积分

 \ ∫_{0}^{1} (x^2 + 3xy^2 + xy) \, dx

 

\ = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2y^2 + \frac{x^2}{2}y \right]_{0}^{1}

 

\ = \left( \frac{1^3}{3} + \frac{3}{2}(1)y^2 + \frac{1^2}{2}y \right) - \left( \frac{0^3}{3} + \frac{3}{2}(0)y^2 + \frac{0^2}{2}y \right)

 

\ = \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y \right) - 0 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y

 

第 2 步:现在对变量 y 的第 1 步中获得的结果进行积分

 

\ ∫_{0}^{1} \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y \right) \, dy

 

\ = \left[ \frac{1}{3}y + \frac{1}{2}y^3 + \frac{1}{4}y^2 \right]_{0}^{1}

 

\ = \left( \frac{1}{3}(1) + \frac{1}{2}(1)^3 + \frac{1}{4}(1)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(0) + \frac{1}{2}(0)^3 + \frac{1}{4}(0)^2 \right)

 

\ = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) - 0

 

\ = \frac{13}{12}